Probabilitatea matematica in backgammon.
Se ştie că în jocul de table (backgammon cu mici diferenţe) se folosesc zaruri. Se aruncă cu două zaruri şi în funcţie de combinaţiile obţinute pe ele se mută piesele de pe tablă.
În momentul în care vorbim de jocuri în care se folosesc zar/zaruri sau cărţi de joc implicit apare noţiunea de probabilitate.
Probabilitatea, mai simplu spus, înseamnă raportul dintre numărul de cazuri favorabile (să îl notăm cu a) şi numărul total de cazuri (notat cu m).
Astfel, probabilitatea de apariţie a unui eveniment oarecare A, o notăm cu P(A), va fi:P(A)=a/m;
Este evident că aceste cazuri favorabile se găsesc în totalul cazurilor (m). Astfel, întotdeauna, a
In viaţa de zi cu zi, apare destul de des noţiunea de probabilitate. Oamenii nu obişnuiesc să spună „ce probabilitate este să se întâmple cutare lucru?”, ci ei folosesc noţiunea de şansă astfel: „ce şanse sunt să se întâmple asta?”. Pentru ei este „şansă” şi „procente”.
Dacă spunem că un eveniment are probabilitate 1 să apară, înseamnă că „are 100% şanse” să se întâmple. Deci va avea loc sigur. Dacă are o probabilitate de 0,67, înseamnă că are 67% şanse. Este clar că pentru a transforma probabilitatea în procente, se înmulţeşte cu 100.
Exemplu: dacă am într-o cutie două bile roşii şi trei bile albe, se cere probabilitatea de a extrage o bila albă. Avem:
Evenimentul de a scoate o bilă albă din cutie;
Numărul evenimentelor favorabile (am trei bile albe, pot scoate una dintre acestea, oricare, deci a=3);
m- Numărul total al evenimentelor posibile ( pot scoate oricare bilă din cele cinci, deci m=5);
avem: P(A)=a/m=3/5=0,6 sau pot spune „am 60% şanse să scot o bilă albă”, evident, mai multe decât să scot una roşie, acestea fiind mai puţine.
Dacă luăm un zar, aruncăm cu el şi vrem să obţinem în sus faţa pe care avem un punct (spunem că vrem să dăm 1), este clar că probabilitatea va fi 1/6 (o singură faţă cu un punct şi şase feţe în total). În procente, avem şanse 16,667% să dăm 1.
La table se aruncă cu doua zaruri. Mai jos, sunt toate cazurile posibile:
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
Prima cifră din fiecare căsuţă reprezintă valoarea dată de primul zar şi a doua cifră este valoarea dată de al doilea zar. În total sunt 36 de variante posibile (numărul total de cazuri posibile m=36).
Se observă că „dublele” (când ambele zaruri ne dau aceeaşi valoare) apar fiecare o singură dată, iar celelalte combinaţii de câte două ori, deoarece ordinea nu ne interesează, pentru noi fie că este combinaţie x-y, fie că este y-x, va fi acelaşi lucru. De exemplu pentru 2-1 mai avem şi 1-2, care este acelaşi lucru.
Apar de multe ori în cursul unui joc de table una dintre urmatoarele întrebări:
Care este probabilitatea de a da o dublă? Cazuri favorabile aveam şase (sunt şase duble posibile, deci a=6) şi numărul total de cazuri 36. Astfel:
P=6/36=1/6=0,1667 sau 16,67% şanse de a da o dublă. Destul de mici!
Care este probabilitatea de a da 6 pe zar? (pentru oricare altă valoare este acelaşi lucru). Cazuri favorabile: 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6. Avem 11 situaţii favorabile, deci a=11. Numărul cazurilor posibile este acelaşi, 36. Astfel:
P=11/36=0,3056 sau 30,56% şanse de a obţine un 6 direct pe un zar.
Care este probabilitatea de a obţine un 6 direct pe un zar dar şi din combinaţia ambelor zaruri? Cazuri favorabile: 1-5, 1-6, 2-2, 2-4, 2-6, 3-3, 3-6, 4-2, 4-6, 5-1, 5-6, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5 si 6-6. Deci a=17. Cazuri totale 36. Astfel:
P=17/36=0,4722 sau 47,22% şanse de a obţine un 6, fie direct pe zar, fie din combinaţie.
Să spunem că avem nevoie să dăm 8 (adversarul are o piesă descoperită la 8 cuie distanţă de piesa noastră şi vrem să îl scoatem din joc cu piesa respectivă). Dacă presupunem că toate câmpurile sunt goale între cele două piese atunci întrebarea va fi: Care este probabilitatea de a obţine un 8?
Cazuri favorabile: 2-2 (la duble, se face de patru ori valoarea de pe zar),2-6, 3-5, 4-4, 5-3, 6-2. Deci a=6 si m=36. Astfel:
P=6/36=0,1667 sau 16,67% şanse să dăm 8. La fel se procedeaza pentru orice altă valoare.
Până aici totul este simplu. Se pune problema dacă vrem să calculăm probabilităţi pentru mai multe aruncări.
De exemplu, pentru două aruncări cu zarurile avem pentru fiecare dintre cele 36 combinaţii posibile la prima aruncare o alăturare cu oricare din cele 36 combinaţii de la a doua aruncare (pentru un 1-1 la prima aruncare pot obţine oricare din cele 36 combinatii de la a doua aruncare). În urma celor două aruncări, avem un număr posibil de cazuri m=36×36=1296.
Dacă la aceste două aruncări mai adăugăm încă una, la fiecare dintre aceste 1296 cazuri se poate alătura oricare din cele 36 posibile la a treia aruncare. Astfel am avea numărul total de cazuri posibile m=1296×36=46656.
Este limpede cât de complicat devine atât determinarea numărului de cazuri favorabile, cât şi numărul total de cazuri (chiar dacă sunt puterile lui 36).
Pentru acest caz, al mai multor aruncări, se foloseşte mai multă matematică. Avem la dispoziţie o formulă lăsată de Bernoulli numită chiar „schema lui Bernoulli”, provenită dintr-o altă schemă, a lui Poisson.
Dacă la fiecare aruncare ne referim la un eveniment cu aceeaşi probabilitate de apariţie, putem folosi această schemă a lui Bernoulli, care transpusă în domeniul tablelor spune: probabilitatea de a obţine de k ori o combinaţie de zaruri care are la o aruncare probabilitatea p de apariţie, din n aruncări va fi egală cu:
C_n^k p^k 〖(1-p)〗^(n-k) unde,
C_n^k=n!/k!(n-k)! şi reprezintă combinări de n luate câte k,
n!=1x2x3x4…x(n-1)xn, de exemplu 4!=1x2x3x4=24
n- numărul de aruncări
k- numărul dorit de apariţie a combinaţiei, a numărului respectiv (de exemplu, vrem să dăm de 2 ori dublă din 4 aruncări, vom avea k=2 şi n=4)
p- probabilitatea de apariţie a combinaţiei dorite într-o aruncare (penntru o dublă, am spus mai sus, avem probabilitate 1/6 ).
Dacă luăm exemplul acesta, cu două duble din patru încercări, este limpede că la fiecare aruncare vom avea aceeaşi probabilitate de a obţine o dublă, deci putem folosi această formulă a lui Bernoulli. Să vedem cât este probabilitatea de a obţine două duble din patru aruncări, unde avem k=2 (vrem sa obţinem de două ori dublă), n=4 (avem patru aruncări) şi p=1/6 (probabilitatea să dăm dublă la o aruncare):
P=C_n^k×p^k×(1-p)^(n-k)=C_4^2×(1/6)^2×(1-1/6)^(4-2)=
=4!/2!(4-2)!×1/36×5^2/6^2 =(1×2×3×4)/(1×2×2!)×1/36×25/36=0,1157
Putem spune că avem 11,57% şanse să dăm două duble din patru aruncări.
Înainte să dau alt exemplu de calcul, vreau să iau un exemplu simplu, unde putem calcula „băbeşte” probabilitatea pentru a face o verificare a acestei formule.
Să preupunem că vrem să obţinem de patru ori la rând combinaţia 1-1 pe zaruri. Avem astfel k=4, n=4, p=1/36 (probabilitatea de a da 1-1 la o aruncare, un singur caz posibil raportat la numărul total de cazuri 36). Astfel:
P=C_4^4 〖(1/36)〗^4 〖(1-1/36)〗^(4-4)=4!/0!4! 〖(1/36)〗^4 〖(35/36)〗^0=1/〖36〗^4
O probabilitate foarte mică, după cum se vede şi se putea anticipa fără aceste calcule.
Dacă vrem să calculăm această probabilitate direct ca fiind cazuri posibile supra cazuri totale este clar că la fiecare aruncare avem câte o combinaţie posibilă 1-1. La a doua la fel, deci după patru aruncări vom avea 1-1/ 1-1/ 1-1/ 1-1. Este singura combinaţie posibilă. Dacă pentru trei aruncări am spus mai sus că avem 46656 de posibilităţi (36x36x36) şi mai adăugăm încă una, este limpede că pentru fiecare dintre aceste combinaţii îi poate corespunde fiecare din cele 36 combinaţii de la a 4-a aruncare. În total vom avea 36x36x36x36 cazuri posibile.
Probabilitatea va fi astfel P=1/(36x36x36x36). Am ajuns la acelaşi rezultat. Se verifică formula!
Dacă avem probabilităţi mai complicate la fiecare aruncare (mai multe cazuri posibile) se complică calculul şi va trebui să folosim formula. Voi considera exemplul următor întâlnit destul de des în practica tablelor: să presupunem că am două spaţii libere în casa mea , să spunem 2 şi 3 (oricare ar fi, este acelaşi lucru). Adversarul are de băgat o piesă în aceste două „găuri”. Îl scot de patru ori la rând şi el intră de trei ori din aceste patru aruncări în doar două spaţii libere. Cine a avut probabilitatea de partea sa? Eu sau adversarul? Să vedem:
Este clar că avem k=3 şi n=4. Singura necunoscută rămâne p (probabilitatea de a da un 2 sau un 3 la o aruncare). Vom număra combinaţiile de zaruri care conţin un 2 sau un 3. Le înroşesc în tabelul următor:
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
Observăm că sunt 20 de zaruri bune pentru adversar pentru a intra o dată în două găuri, deci p=20/36. Asta înseamnă că dacă l-aş scoate afară o singură dată având în casă la mine două spaţii libere el va avea şanse de 55,56% să intre (deci de partea sa). Acum să vedem ce şanse are să intre de trei ori din patru încercări:
P=C_4^3 〖(20/36)〗^3 〖(1-20/36)〗^(4-3)=4〖(5/9)〗^3 4/9=0,3048
Aceasta înseamnă că are 30,48% şanse să intre de trei ori din patru încercări în două spaţii libere. Pentru el este evident că îl avantajează şi dacă intră de 4 ori. La această probabilitate trebuie să mai adăugăm şi pe aceea de a intra de 4 ori:
P=C_4^4 〖(20/36)〗^4 〖(1-20/36)〗^0=〖(20/36)〗^4=0,0953
În total avem o probabilitate de 0,40 deci, 40% şanse să intre de cel puţin trei ori din patru aruncări.
Dacă vrem să vedem probabilitatea de a intra de cel puţin o dată?
Asta înseamnă că trebuie să luăm în calcul următoarele cazuri: intră o dată, intră de două ori, intră de trei ori sau intră de fiecare dată. Deci pentru valorile lui k=1,2,3,4. Dacă mai punem şi varianta de a nu intra niciodată avem toate cazurile posibile şi dacă le adunăm obţinem probabilitatea 1. Astfel, pentru a obţine probabilitatea de a intra de cel puţin o dată, pot scade din 1 probabilitatea de a nu intra niciodată. În acest mod am de calculat un singur termen, acela pentru k=0 (deci nu dă niciodată 2 sau 3):
P=C_4^0 〖(20/36)〗^0 〖(1-20/36)〗^4=〖(16/36)〗^4=0,039 ,
deci 3,9% să nu intre deloc din 4 aruncări. Diferenţa de 96,1% reprezintă şansele sale de a intra de cel puţin o dată. Este o valoare mare, evident. Altfel spus, are 3,9% şanse să dea patru „gherle” din patru încercări la două găuri. De multe ori se întâmplă asta.
Daca vrem să calculăm probabilităţi pentru combinaţii în care evenimentele au la fiecare aruncare probabilitate diferită de apariţie (de exemplu probabilitatea de a da o dublă la prima aruncare şi un 16 la a doua) , nu mai putem folosi această formulă. Este un caz mai puţin important în practică deoarece jucătorul aproximează în minte probabilităţile, orientativ, în funcţie de cele precum acestea calculate de mine mai sus.
Există un principiu al independenţei evenimentelor care spune că teoretic un eveniment poate avea loc la infinit. Dacă ţinem cont de acesta, putem arunca cu zarul la infinit şi să obţinem mereu aceeaşi valoare. Este practic imposibil.
La table, uneori trăim cu impresia că suntem persecutaţi de noroc, că vin combinaţii aproape imposibile care sunt favorabile adversarului. Dacă privim în esenţă şi considerăm că la un joc de table fiecare oponent aruncă de cate 50 de ori cu zarurile, vom avea un film de 100 de aruncări în total. Dacă la trei aruncări avem un număr total de 46656 combinaţii posibile (36 la puterea 3, adică 36 ridicat la o putere care reprezintă numărul de aruncări), la 100 de aruncări vom avea un număr de variante imposibil de scris (36 ridicat la puterea 100). Datorită acestui fapt, jocul de table este unul foarte interesant şi avem un lucru universal valabil: un om, dacă ar juca toata viaţa table neîntrerupt, este o probabilitate de sub 1/100 000 000 să joace două linii identice.
În concluzie, numărul de cazuri posibile este unul imens, astfel, fiecare combinaţie are o probabilitate incredibil de mică. Desigur, dacă spunem că a fost o combinaţie din trei aruncări se poate accepta că era greu probabilă, dar ea face parte dintr-un film de 100 de aruncări în care se poate întâmpla orice şi oricum.
În joc, probabilităţile pot ajuta doar într-o anumită măsură, ele servesc la stabilirea unei strategii. Cum am spus, nu este necesar să se respecte. Se poate întâmpla să avem de partea noastră 99,99% din şanse, dar să pierdem. Statistic vorbind, pe timp îndelungat, acestea se respectă cu o oarecare marjă de eroare.
Lectia cu mutarile de inceput nu s-a incheiat,si voi continua cu partea a III-a data viitoare!
Pana atunci,bafta la zar!
Poartă în Casă 
Comentarii recente